§ 5. ЗАДАЧИ С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

 

Параллельность

         1. Постройте параллельные прямые с помощью линейки и: а) чертежного угольника; б) циркуля.

         2. Через данную точку (не принадлежащую данной прямой)  проведите с помощью транспортира и линейки прямую, параллельную данной прямой.

         3. Начертите две прямые, параллельные верхнему краю тетради.

         4. На плане города улицы обозначенные как AB и CD, параллельны (рис. 35). Улица EF составляет с улицами AB и AC углы соответственно a=43° и b=65°. Найдите углы, которые образуют между собой улицы AC и AB, AC и CD.

         5. Как практически проверить, параллельны ли две прямые: а) изображенные в тетради; б) провешенные на местности?

         6. С помощью одной линейки постройте сумму углов A и B треугольника ABC.

         7. На рисунке 36 изображен прибор, который называется эклиметр. Он используется для измерения углов в вертикальной плоскости при проведении работ на местности. Объясните, что измеряется с помощью него и как он устроен.

         8. На рисунке 37 показано, как с помощью чертежного угольника построены две перпендикулярные прямые AB и BC. Объясните это построение.

         9. Найдите угол, образованный линиями насечек у напильника, изображенного на рисунке 38.

         10. По одну сторону от шоссе расположены два дачных участка. Нужно проложить дорогу, параллельную шоссе, таким образом, чтобы сумма расстояний от участков до нее была наименьшей.

Четырехугольники

         11. На рисунке 39 изображено устройство, которое называется «параллельные линейки» и используется для построения параллельных прямых. Объясните, как им пользуются.

         12. Объясните по рисунку 40, как находится расстояние между недоступными объектами X и Y, которые находятся, например, на противоположном от наблюдателя берегу реки, MN - искомое расстояние.

         13. В старинных паровозах на колесах закреплялся специальный стержень (на рисунке 41 ST), равный расстоянию между центрами соответствующих окружностей, который передавал движение от первого колеса ко второму, равному ему колесу. Объясните, как должен быть расположен стержень относительно линии центров (прямая, соединяющая центры двух окружностей).

         14. В прямоугольной пластине нужно просверлить круглое отверстие на равном расстоянии от вершин. Как найти центр отверстия?

         15. Мастеру заказали изготовить ставни, чтобы закрыть прямоугольные окна на даче. Какие размеры он должен снять с каждого окна?

         16. Как, имея двустороннюю линейку, построить ромб?

         17. Как, имея двустороннюю линейку, данный угол: а) разделить пополам; б) удвоить?

         18. Как проверить, что салфетка имеет форму квадрата? Достаточно ли перегнуть ее по: а) одной диагонали; б) двум диагоналям?

         19. На одной прямой на равном расстоянии друг от друга стоят три телеграфных столба. Крайние находятся от дороги на расстояниях 18 м и 48 м. Сделайте соответствующий рисунок и найдите расстояние, на котором находится от дороги средний столб.

         20. Участок между двумя параллельными улицами имеет вид четырехугольника ABCD (AD||BC) AB=28 см, BC=35 см, AD=42 см, B=112°. Выберите масштаб и нарисуйте план участка. Найдите приблизительно периметр участка и количество досок шириной 10 см, которые нужно заготовить, чтобы обнести его плотным забором.

Вписанные и описанные многоугольники

         21. В металлической пластине просверлены три круглых отверстия, их центры не принадлежат одной прямой. Где нужно просверлить четвертое отверстие, чтобы его центр находился на равном расстоянии от центров трех данных отверстий?

         22. В треугольной пластине нужно просверлить круглое отверстие, чтобы оно находилось на равных расстояниях от ее сторон. Где должен быть центр отверстия?

         23. В каком месте потолка нужно повесить люстру, чтобы все углы прямоугольной комнаты были одинаково освещены?

         24. В каком месте ромбовидной поляны нужно встать, чтобы эхо одинаково отражалось от всех стен леса?

         25. В окружность без указанного центра с помощью чертежного угольника впишите квадрат.

         26. Из фанеры требуется выпилить круглую крышку для бочки. Какие измерения нужно сделать мастеру, имея в своем распоряжении одну рулетку?

         27. Для того чтобы предупредить корабли об имеющихся на их пути трех мелях A, B, C (рис. 42), поставили два маяка M1 и M2, которые расположены на окружности, охватывающей опасный участок. Угол M1OM2 должен быть известен лоцманам, ведущим корабли. Как могут лоцманы, измеряя угол между направлениями на оба маяка, узнавать, находятся ли корабли вне зоны опасности?

         28. Ученику нужно провести трисекцию (разделить на три равные части) центрального угла на выпиленной круглой пластине. Он поступил следующим образом: провел хорду, соответствующую данному центральному углу, разделил ее на три равные части и точки деления соединил с центром пластины. Разделился ли при этом центральный угол на три равные части? Обоснуйте свой ответ.

         29. Известно, что громоотвод защищает от молнии на расстоянии от его основания не более его удвоенной высоты. Где на дачном участке лучше всего разместить громоотвод, чтобы его высоту сделать наименьшей, если участок имеет форму: а) круга; б) прямоугольного треугольника; в) равностороннего треугольника; г) разностороннего треугольника; д) прямоугольника; е) квадрата.

         30. Садовник разбил красивую круглую клумбу. На ней, в частности, посадил маргаритки, которые образовали стороны вписанного четырехугольника. У него остались еще цветы, и он продолжил стороны четырехугольника до их пересечения и посадил также цветы по биссектрисам углов, образованных продолжениями этих сторон. Ему показалось, что эти биссектрисы перпендикулярны и соответственно параллельны биссектрисам углов, образованных диагоналями того же четырехугольника. Верно ли предположение садовника?

Движение

31. Как, используя центральную симметрию, измерить расстояние между двумя объектами, между которыми находится, например, дом?

32. Как, используя центральную симметрию, измерить расстояние между двумя объектами M и N, если между ними два дома  D1, D2 и  невдалеке кустарник К (рис. 43).

33. На участке прямоугольной формы находятся две дачи D1, D2 и колодец К (рис. 44). Как нужно поставить забор, чтобы участки дач были равны и колодец находился на их границе?

34. На участке имеется площадка. Как провести прямую изгородь, чтобы она разделила и участок, и площадку на две равные части, если: а) и участок, и площадка имеют прямоугольную форму (рис. 45,а); б) участок имеет форму параллелограмма, площадка – круга, и расположены они так, как показано на рисунке (рис. 45,б)?

35. Между двумя пунктами P и Q: а) протекает река (рис. 46,а); б) протекают две реки (рис. 46,б). Где нужно построить переправу, чтобы соединить пункты самой короткой дорогой?

36. Как восстановить садовый участок квадратной формы, если сохранились три столбика от ограды его периметра – два на противоположных сторонах и один – в центре?

37. Как восстановить участок квадратной формы, если от его ограды сохранились четыре столбика – по одному на каждой его стороне? Всегда ли это можно сделать?

38. В каком направлении нужно ударить бильярдный шар X (рис. 47), чтобы он, ударившись о стенку BC прямоугольного стола, попал в шар Y?

39. В каком направлении нужно ударить бильярдный шар X (рис. 47), чтобы он, последовательно ударившись о четыре стенки AB, BC , CD и AD прямоугольного стола, попал в шар Y?

40. На клетчатой бумаге в вершинах клеток поставлены две точки O и P так, как показано на рисунке 48. Не проводя никаких линий, найдите точку P1, в которую перейдет точка P при повороте вокруг точки O на угол, равный -90.

Подобие

41. На рисунке 49  изображен прибор – дальнометр, где AL – линейка со шкалой, PQ – подвижная планка. Как можно найти с помощью этого прибора расстояние, например, AK, зная расстояние между объектами B и C?

42. По данному рисунку 50 объясните, как определяется высота H дерева. При этом используется шест, на рисунке он обозначен CD. Чему равна высота H, если h, S, a, b известны?

43. Как определить высоту дерева по его тени в солнечный день?

44. Изображение дерева на фотопленке имеет высоту 15 мм. Найдите высоту дерева, если расстояния от объектива фотоаппарата до изображения и до дерева равны соответственно 50 мм и 60 м (рис. 51).

45. На географической карте три населенных пункта расположены друг от друга на расстояниях 6 см, 5 см и 4,5 см. Наибольшее расстояние равно в действительности 15 км. Найдите масштаб карты и действительное наименьшее расстояние.

46. Какой должна быть ширина (x) прямоугольной рамки для фотографий, если известны три ее размера a, b, c, указанные на рисунке 52, чтобы прямоугольники рамки и фотографии были подобны?

47. На рисунке 53 изображен прибор, который называется «делительный циркуль». Объясните, как, пользуясь им, можно снять копии отдельных фрагментов планов, чертежей, деталей и т.п. Например, найдите расстояние BC, чтобы циркуль: а) увеличил оригинал в 2 раза; б) уменьшил оригинал в 3 раза. Ножка AE имеет длину 15 см.

48. На рисунке 54 два человека M1 и M2  должны выйти к шоссе GH  в одном месте. Вектор  задает направление движения M1. Определите соответствующий вектор направления движения M2.

49. Нужно найти расстояние, на котором упадет от теннисной сетки поданный мяч, если ее высота равна 90 см, мяч подан с высоты 2,4 м от конца площадки, длина которой до сетки равна 12 м.

50. Объясните по рисунку 55, как измерить глубину обрыва, стоя на его краю и имея небольшую палку: A – уровень глаз стоящего человека, B - уровень обрыва и уровень глаз лежащего человека, CD и EF – длины частей палки, K – камень на дне.

Тригонометрические функции острого угла

51. Горная железная дорога поднимается на 1 м на каждые    30 м пути. Найдите угол подъема.

52. На каком расстоянии друг от друга следует копать ямки для посадки деревьев по склону холма, наклоненному к горизонту под углом j, если расстояние между двумя деревьями на ровной горизонтальной поверхности равно a м?

53. Ширина каждой ступеньки (называется проступь) лестницы равна b см. Найдите высоту ступеньки, если угол подъема лестницы равен a.

54. Используя теорему косинусов, определите расстояние между пунктами  M и N, между которыми расположен пруд (рис. 56).

55. Используя теорему синусов, предложите способ определения расстояния между двумя пунктами (R и S), которые находятся на разных берегах реки.

56. На рисунке 57 показано, как определяли расстояние между двумя недоступными объектами E и F,  находящимися на другом берегу реки. Объясните предложенный способ определения EF.

57. Длина маятника равна l м, высота его подъема (от вертикального положения) при отклонении на угол  равна h м. Найдите расстояние от конца маятника при данном отклонении от вертикальной прямой до его первоначального спокойного состояния.

58. На рисунке 58  угол AOB – угол места цели (это угол между горизонтом и прямой, соединяющей орудие с целью). Найдите его при стрельбе по цели, которая находится выше уровня орудия на 75 м, учитывая, что расстояние  от орудия до цели по карте масштаба 1:10000 равно 37,5 см.

59. На стрельбище спортсмены выстраиваются параллельно стрелковому стенду на расстоянии 500 м от него. Определите длину участка, который находится под обстрелом, если расстояние между первым и последним участниками соревнования равно 100 м и дальность полета пули равна 2,9 км.

60. К одной материальной точке M под углом 60° друг к другу приложены две силы P1=100 кг и P2=200 кг. Найдите величину равнодействующей R и углы, которые она составляет с P1 и P2.

 

ОТВЕТЫ

1. а) См. рисунок 75, прямые AB и CD параллельны; б) проводим произвольную прямую a, берем точку AÏ a, опускаем перпендикуляр AH, HÎ a (проводим окружность с центром в точке A, которая пересечет прямую a в двух точках, например, B и C, находим точку H – середину отрезка BC, AH^a). Затем через точку A проводим прямую b, перпендикулярную AH, прямые a и b параллельны.

2. Через точку A, не принадлежащую прямой a проводим произвольную прямую c, пересекающую данную прямую a. С помощью транспортира определяем угол a между прямыми a и c; через точку A под углом a к прямой c проводим прямую b; прямые a и b параллельны.

4. 72°, 108°.

6. Нужно построить внешний угол при вершине C.

9. 80°, 100°.

10. Обозначим шоссе прямой g, поселки – буквами M и N. Проведем прямую h^g и опустим из точек M и N перпендикуляры на h соответственно MH и NQ (рис. 76). Теперь проведем прямую p||g и назовем P=pÇh. Если точка P лежит между точками H и Q, то HP+PQ=HQ; если P не лежит между H и Q, то HP+PQ>HQ. Расстояния от точек M и N до прямой p равны соответственно HP и QP. Таким образом, наименьшая сумма этих расстояний равна HQ. Следовательно, искомая дорога - прямая x, проходит через любую внутреннюю точку отрезка MN параллельно прямой g.

12. XN||YM и XN=YM (XON=MOY по двум сторонам и углу между ними), значит, четырехугольник MNXY – параллелограмм и  XY=MN.

13. O1STO2 – параллелограмм, ST||O1O2 и  SO1||TO2.

14. Провести диагонали прямоугольника, центр отверстия будет находиться в точке их пересечения.

15. Нужно измерить или две несмежные стороны прямоугольника – окна, или одну сторону и диагональ.

16. Решение показано на рисунке 77, где ABCD - ромб.

17.  Пусть дан угол AOB. а) Прикладываем линейку к одной его стороне, например, OB, обводим другой край, получили прямую a (рис. 78,а). Аналогично, прикладываем линейку к стороне OA и опять обводим другой край линейки, получим прямую b. В пересечении получился ромб OKLM, диагональ OL которого является биссектрисой угла O, т.е. AOL=BOL. б) Прикладываем линейку к одной стороне угла, например, OB, обводим другой край, получили прямую a (рис. 78,б), которая пересечет OA в точке L. Аналогично, проведем прямую b, но так, чтобы прямые a и b лежали в разных полуплоскостях относительно прямой OB. Теперь разместим линейку таким образом, чтобы разные ее края проходили через точки O и L, получим соответственно прямые c и d, cÇb=C, dÇOB=D, OCDL - ромб, OD – его диагональ, значит, биссектриса угла LOC, т.е. ÐAOB=ÐBOC и, следовательно, ÐAOC=2ÐAOB.

18. а), б) Недостаточно, нужно еще перегнуть по средним линиям (отрезки, которые соединяют середины противоположных сторон).

19. 33 м. На рисунке 79 AA1, NN1, BB1 - столбы, g - дорога, AD=18 м, BC=48 м, ABCD – трапеция с основаниями AD и BC, MN – ее средняя линия, значит, MN==33 (м).

20. 132 м, 1320 досок.

21. В центре окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются центры просверленных отверстий.

22. В центре окружности, вписанной в данный треугольник.

23. В центре окружности, описанной около прямоугольника, т.е. в точке пересечения его диагоналей.

24. В центре вписанной в ромб окружности, т.е. в точке пересечения его диагоналей.

25. Сначала находим центр окружности, для чего строим два прямых угла с вершинами на данной окружности, проводим соответствующие диаметры, на которые опираются эти углы, центр окружности – точка пересечения проведенных диаметров. Далее проводим два перпендикулярных диаметра окружности, их концы являются вершинами искомого квадрата.

26. Взять три точки на ободе (окружности) бочки и измерить расстояния между ними. По трем сторонам определяется единственный треугольник и окружность, описанная около него.

27. В зоне опасности угол, под которым видны оба маяка, больше угла M1OM2.

28. Нет.

29. а) В центре круга, в остальных случаях б)-е) – в центре описанной окружности. Высота громоотвода равна половине радиуса соответствующей окружности.

30. Да.

31. Пусть нужно измерить расстояние между объектами A и B (рис. 80), между которыми находится дом D. Строим точку A1, центрально симметричную точке A относительно некоторой выбранной точки O. Аналогично строим точку B1, центрально симметричную точке B относительно той же  точки O. Точку  O выбираем таким образом, чтобы дом D не мешал построению A1 и B1. Отрезок A1B1 центрально симметричен отрезку AB относительно точки O. Следовательно, A1B1=AB.

32. Поступаем так же, как в задаче 31, см. рисунок 81.

33. Поставить забор по прямой, соединяющей K и центр симметрии прямоугольника, т.е. точку пересечения его диагоналей.

34. а) Провести прямую через точки пересечения диагоналей двух прямоугольников – участка и площадки; б) любая прямая, проведенная через точку пересечения диагоналей параллелограмма и центр круга, разделит и участок, и площадку на две равные части.

35. Решение показано на рисунке: а) 82,а, где P1 получена из P  параллельным переносом на вектор , причем его длина равна ширине реки; MO – мост, PMOQ – весь путь; б) 82,б, построение аналогично случаю а), только выполняется дважды; MO, GH – мосты, PMOGHQ – весь путь.

36. Пусть сохранились точки M, N на противоположных сторонах квадрата и его центр O. Проведем отрезок MN (рис. 83), найдем его середину – точку H, соединим ее с O и сделаем параллельный перенос на вектор . Тогда точки M и N перейдут соответственно в точки M1 и N1. Проведем прямые MM1 и NN1. Возьмем поворот вокруг точки O на 90°, отрезок M1N1 перейдет в отрезок KL, KL^M1N1 и KL=M1N1. Через точки K и L проведем прямые соответственно k и l, перпендикулярные MM1 (или NN1), A=MM1Çk, B=MM1Çl, C=NN1Çl, D=NN1Çk. Заметим, что если точка H совпадает с точкой O, то построение остается таким же, только вместо отрезка M1N1 берем сам отрезок MN.

37. Пусть сохранились точки K, L, M, N на сторонах квадрата (рис. 84,а). Проведем отрезок MN, из точки K опустим на него перпендикуляр, KH=MN. Проведем прямую LH, через точку K проведем прямую k||LH. Через точки M и N проведем соответственно прямые m и n, перпендикулярные k (или LH), A=kÇm, B=LHÇm, C=LHÇn, D=kÇn. ABCD – искомый квадрат. Если точка H совпадет с точкой L, то в этом случае будет бесконечно много решений (рис. 84,б), и участок восстановить не удастся.

38. Решение показано на рисунке 85, где X1 – точка, симметричная точке X относительно прямой BC, Ð1=Ð2.

39. Решение показано на рисунке 86, где X1 – точка, симметричная точке X относительно прямой AB, X2 – точка, симметричная точке X1 относительно прямой BC. Аналогично, Y1 – точка, симметричная точке Y относительно прямой AD, Y2 – точка, симметричная точке Y1 относительно прямой CD. Соединим точки X2  и Y2, E=X2Y2ÇBC и F=X2Y2ÇCD, G=X1EÇAB, H=Y1FÇAD; Ð1=Ð2,  Ð3=Ð4, Ð5=Ð6, Ð7=Ð8; XGEFHY – искомый путь.

40. Отрицательный угол поворота (-90°) означает, что он будет осуществляться по часовой стрелке. Рассматриваем прямоугольник OHPG (рис. 87) и поворачиваем его вокруг точки O на -90°, при этом  точка O останется на месте, точка H перейдет в точку H1, P – в P1 и G – в G1. Значит, диагональ OP перейдет в диагональ OP1 прямоугольника OH1P1G1, P1 – искомая точка.

41. DABC~DAQP, откуда AK=.

42. Шест устанавливается на некотором расстоянии от дерева таким образом, чтобы его верхний конец C загораживал верхушку дерева. Тогда a – высота части шеста над уровнем глаз наблюдателя, h – его рост, b – расстояние от глаз наблюдателя до шеста, S – расстояние от дерева до наблюдателя. DAEF~DCGF, откуда . Значит, H=+h.

43. См. рисунок 88. Поскольку солнечные лучи можно считать параллельными, то тень от дерева (BC) во столько же раз длиннее тени от, например, шеста (EF), во сколько раз дерево (AB) выше шеста (DE). Таким образом, высота дерева AB=.

44. 18 м.

45. 1:250000; 11,25 км.

46. x=.

47. ABCEDC, значит, ,  DC=15 см-BC, =k, значит, BC=: а) k=, BC=5 см; б) k=3, BC=11,25 см.

48. Вектор  на рисунке 89, где N1N2||M1M2, K – место встречи.

49. На рисунке 90 AB – высота, с которой подан мяч, CD – сетка, BD – расстояние от конца площадки до сетки, E – место приземления мяча. Нужно определить расстояние между точками E и D. Для этого рассмотрите подобные треугольники EDC и EBA. ED=7,2 м.

50. 1) Встав у края обрыва и удерживая палку горизонтально, отмечают на ней точку C, находящуюся на одной прямой с глазом стоящего наблюдателя A и выделенным камнем K на дне обрыва. Измеряют часть палки CD и расстояние AD от глаза до конца палки. 2) Лежа на краю обрыва и удерживая палку горизонтально, отмечают на ней точку E, находящуюся на одной прямой с глазом лежащего человека и выделенным камнем K на дне обрыва. Измеряют часть палки EF и расстояние BF от глаза до конца палки. 3) Находят искомую глубину обрыва BG. Для этого рассматривают подобные  треугольники BEF, BKG и ACD, AKG, откуда BG=.

51. sin j=, j » 2°.

52.  м.

53. atg a см.

54. Решение показано на рисунке 91, где K – выбранный третий пункт такой, что из него видны и доступны данные пункты M и N. Пусть KN=m, KM=n и ÐMKN=a, тогда по теореме косинусов MN=.

55. Выбираем третий пункт T (рис. 92), определяем расстояние RT=s и углы ÐT=a, ÐR=b. Тогда S=180°-(a+b). По теореме синусов получаем SR=.

56. Рассмотрели треугольники AEB и AFB, используя теорему синусов, нашли соответственно AE и AF. Затем из треугольника AEF по теореме косинусов определили EF.

57.  См. рисунок 93, BH=(l-h)tg y, где OA=OB=l, ÐAOB=y, AH=h.

58. tg j=0,02, где j - искомый угол.

59. См. рисунок 94, где ABCD – равнобедренная трапеция (BC||AD), BC – цепь спортсменов, BC=100 м, BH^AD, CPAD, BH=CP=500 м, AB=CD=2,9 км, AD - искомое расстояние. AD=100(8+1) м.

60. Данная ситуация изображена на рисунке 95, где MP1RP2 - параллелограмм, у которого MP1=100, MP2=200, ÐM=60°.  Нужно найти диагональ MR и углы P1MR, P2MR. Из треугольника MP1R по теореме косинусов, учитывая, что ÐMP1R=120°, находим MR=100 кг. Искомые углы находим соответственно из треугольников MP1R и MP2R;  sin ÐP1RM=, sin ÐP2MR=.

 

Hosted by uCoz